题目内容

8．在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=1，PC=9．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m、n、p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积，若f（M）=（$\frac{1}{2}$，x，y），且$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2≥a恒成立，则正实数a的最大值为（　　）
A．$\frac{4}{3}$B．$\frac{16}{3}$C．$\frac{8}{3}$D．$\frac{7}{3}$

分析 先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用配方法求出$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2的最小值，即可得出结论．

解答 解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=1，PC=9．
∴VP-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×1×9=$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$+x+y
即x+y=4，
∴y=4-x，
∴$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=$\frac{{x}^{2}}{2}$+（4-x）2=$\frac{3}{2}{x}^{2}-8x+16=\frac{3}{2}（x-\frac{8}{3}）^{2}+\frac{16}{3}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2≥a恒成立，
∴a≤$\frac{16}{3}$，
∴正实数a的最大值为$\frac{16}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了配方法的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．

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