Question

在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x-y-4=0是角A的平分线．直线CE：x-2y-6=0是AB边的中线．
（1）求边AC的直线方程；
（2）圆M：x²+（y+1）²=r²（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：

CF

•

CG

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设AB中点坐标为D（x₀，y₀），∵点B（0，1），则A点坐标为（2x₀，2y₀-1），把D（x₀，y₀）代入直线CE方程，把A点坐标（2x₀，2y₀-1）代入角A的平分线方程，求出x₀，y₀
的值，可得A点坐标．再由B点关于2x-y-4=0的对称点（4，-1）在直线AC上，由两点式求直线AC的方程．
（2）把CE和AC的方程联立方程组求出点C的坐标，利用两个向量的数量积的定义求出

CG

•

CF

=

1

8

[(r2-12)2-16]，再由二次函数的性质求得

CF

•

CG

的最大值和最小值，
从而得到

CF

•

CG

的取值范围．

解答：解：（1）设AB中点坐标为（x₀，y₀），∵点B（0，1），则A点坐标为（2x₀，2y₀-1）．
依题意得

x0-2y0-6=0 4x0-(2y0-1)-4=0

，解之得：

x0=-1 y0=- 7 2

，∴A（-2，-8），
由于B点关于2x-y-4=0的对称点（4，-1）在直线AC上．∴直线AC的方程为

y+1

-8+1

=

x-4

-2-4

，即 7x-6y-34=0．
（2）由

7x-6y-34=0 x-2y-6=0

  解得

x=4 y=-1

，即C（4，-1），又 圆心M（0，-1），
∴

CG

•

CF

=|

CG

|•|

CF

|•cos∠FCG=（16-r²）cos2∠CFM=（16-r²）（1-2sin²∠GCM）=(16-r2)[1-2(

r

4

)2]=

1

8

[(r2-12)2-16]，
∵1≤r≤3，∴1≤r²≤9，由单调性得

CG

•

CF

|max=

1

8

×(121-16)=

105

8

，

CG

•

CF

|min=

1

8

×(9-16)=-

7

8

．
∴

CG

•

CF

的取值范围为[-

7

8

，

105

8

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，用两点式求直线方程，圆的切线性质，以及在闭区间上求二次函数的最值，属于中档题．