Question

【题目】已知抛物线： 的焦点与椭圆： 的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于、两点.

（Ⅰ）求抛物线的方程以及的值；

（Ⅱ）记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在常数，使得且都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）或.

【解析】试题分析：（1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则可得，即可求得的值，求得拋物线方程，利用拋物线的焦点弦公式即可求得的值； （2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得，利用韦达定理以两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数入的值.

试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆： 中， ，故，故，故，则，故抛物线方程为，将代入，记得，

故.

（Ⅱ）依题意， ，设，设， ，

联立方程，消去，得.∴①

且，又则，即，代入①

得，

消去得，且，

则 .由，

解得或（舍），故或.