Question

【题目】设函数f（x）=ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[﹣ ， ]的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（﹣ ，+∞）

f′（x）= +2x=

当﹣ ＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；

当﹣1＜x＜﹣ 时，f′（x）＜0；

当x＞﹣ 时，f′（x）＞0

从而，f（x）在区间（﹣ ，﹣1），（﹣ ，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣ ）上单调递减

（2）解：f（x）的定义域为（﹣ ，+∞）

由（1）知f（x）在区间[﹣ ， ]的最小值为f（﹣ ）=ln2+

又f（﹣ ）﹣f（ ）=ln + ﹣ln ﹣

=ln + = （1﹣ln ）＜0

所以f（x）在区间[﹣ ， ]的最大值为f（ ）= +ln ．

【解析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知f（x）在区间[﹣ ， ]的最小值为f（﹣ ）求出得到函数的最小值，又因为f（﹣ ）﹣f（ ）＜0，得到f（x）在区间[﹣ ， ]的最大值为f（ ）求出得到函数的最大值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．