Question

（本小题满分14分）已知函数的导函数．

（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；

（2）解关于x的方程；

（3）设函数，求时的最小值．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的最值、恒成立问题、分段函数、函数图象等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查分类讨论思想. 第一问，先对求导，得到，将，不等式恒成立，转化为在时恒成立，利用x的取值范围得到的最大值，从而得到a的取值范围；第二问，先得到的方程，利用零点分段法去掉绝对值符号，通过对a的范围的讨论来解方程；第三问，先对

中的1和的大小进行讨论，分别得到的解析式，在每一种情况下利用一次函数、二次函数的图象及其性质得到函数的最小值.

试题解析：（1）∵，∴， 1分

又∵，知

∴在时恒成立，∵， 2分

∴． 3分

⑵∵，∴，

∴，∴或． 4分

①当时，，∴或； 5分

②当时，或，

∴或或； 6分

③当时，，∴或． 7分

⑶∵，

①若，则时，，∴，

从而的最小值为； 9分

②若，则时，，∴，

当时，的最小值为，

当时，的最小值为，

当时，的最小值为． 11分

③若，则时，

当时，最小值为；

当时，最小值为．

∵，，

∴最小值为． 13分

综上所述， 14分

考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、恒成立问题、分段函数、函数图象.