Question

20．椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{20}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，结合椭圆的定义，通过三角形的面积转化求解即可．

解答 解：椭圆：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
△ABF₂的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=$\frac{1}{2}$，
而△ABF₂的面积=△A F₁F₂的面积+△BF1F2的面积=$\frac{1}{2}$×|y₁|×|F₁F₂|+$\frac{1}{2}$×|y₂|×|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x轴的上下两侧）
又△ABF₂的面积=$\frac{1}{2}$×r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（2a+2a）=a=5．
所以 3|y₂-y₁|=5，|y₂-y₁|=$\frac{5}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用