Question

已知函数f（x）=alnx-x²+（2-a）x（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在线x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的最大值是

1

2

，求a的值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）+2（a-1）x，若y=g（x）在区间（0，2）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出函数的导函数，进一步求得f（1）与f′（1），代入直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点的定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得原函数的最值，由函数f（x）的最大值是

1

2

列式求a的值；
（Ⅲ）把f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+2（a-1）x，求出g（x）的导函数，把y=g（x）在区间（0，2）上不单调转化为g′（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根，由导函数的图象可知导函数在（0，2）上单增且g′（0）0求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x²．
∴f′(x)=

2

x

-2x，则f′（1）=0．
又f（1）=-1，
∴曲线y=f（x）在线x=1处的切线方程为y=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=alnx-x²+（2-a）x （a＞0），
函数定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=

a

x

-2x+(2-a)=

-2x2+(2-a)x+a

x

=

-(2x+a)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，得x1=-

a

2

，x2=1．
∵a＞0，
∴x1=-

a

2

（舍）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
且f（x）在（0，+∞）上只有一个极大值，即为最大值．
∴f(x)max=f(1)=-1+2-a=

1

2

，解得a=

1

2

；
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2（a-1）x
=alnx-x²+（2-a）x+2ax-2x=alnx-x²+ax，
g′(x)=

a

x

-2x+a．
∵g（x）在区间（0，2）上不单调，
∴g′（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根．
由g′（x）=0，得2x²-ax-a=0，
令h（x）=2x²-ax-a，x∈（0，2）．
∵a＞0，∴h（0）=-a＜0，
若g′（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根，则h（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根．
∴h（2）＞0，
即8-3a＞0，a＜

8

3

．
又a＞0，
∴0＜a＜

8

3

．
∴a的取值范围是（0，

8

3

）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，对于（Ⅲ）的求解，把y=g（x）在区间（0，2）上不单调转化为g′（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根是关键，是压轴题．