题目内容
已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若(
+
)2=7（O为原点），求向量
与
夹角的大小；
（2）若
⊥
，求sin2α的值．
（1）若(
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
（2）若
| AC |
| BC |
（1）∵
+
=(2+cosα，sinα)，(
+
)2=7，
∴（2+cosα）2+sin2α=7，
∴cosα=
．
又B（0，2），C（cosα，sinα），设
与
的夹角为θ，
则：cosθ=
=
=sinα=±
，
∴
与
的夹角为
或
π．
（2）∵
=(cosα-2，sinα)，
=(cosα，sinα-2)，
由
⊥
，∴
•
=0，
可得cosα+sinα=
，①
∴(cosα+sinα)2=
，∴2sinαcosα=-
，sin2α=-
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
∴（2+cosα）2+sin2α=7，
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
又B（0，2），C（cosα，sinα），设
| OB |
| OC |
则：cosθ=
| ||||
|
|
| 2sinα |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| OB |
| OC |
| π |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
（2）∵
| AC |
| BC |
由
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
可得cosα+sinα=
| 1 |
| 2 |
∴(cosα+sinα)2=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
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