题目内容

（理）已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若 $数学公式$ （O为坐标原点），求向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 夹角的大小；
（2）若 $数学公式$ ，当0＜α＜π时，求tanα的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ． …（4分）
又B（0，2），C（cosα，sinα），设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ． …（7分）
（2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（8分）
由 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，①…（10分）
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∵α∈（0，π），∴ $\text{[math]}$ ，
又由 $\text{[math]}$ ，cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=- $\text{[math]}$ ，②
由①、②得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）求出 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，求出cosα，利用向量的数量积直接求出向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的大小；
（2）利用 $\text{[math]}$ ，通过 $\text{[math]}$ 求出 $\text{[math]}$ ，然后求出cosα-sinα=- $\text{[math]}$ ，即可求解结果．
点评：本题考查三角函数与向量的数量积的关系，考查计算能力，注意角的范围的应用，常考题型．