Question

（理）已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若(

OA

+

OC

)2=7（O为坐标原点），求向量

OB

与

OC

夹角的大小；
（2）若

AC

⊥

BC

，当0＜α＜π时，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）求出

OA

，   

OC

 ，利用(

OA

+

OC

)2=7，求出cosα，利用向量的数量积直接求出向量

OB

与

OC

夹角的大小；
（2）利用

AC

⊥

BC

，通过

AC

•

BC

=0求出cosα+sinα=

1

2

，然后求出cosα-sinα=-

7

2

，即可求解结果．

解答：解：（1）∵

OA

+

OC

=(2+cosα，sinα)，(

OA

+

OC

)2=7，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，…（2分）
∴cosα=

1

2

．                                              …（4分）
又B（0，2），C（cosα，sinα），设

OB

与

OC

的夹角为θ，则cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

2sinα

2

=sinα=±

3

2

，
∴

OB

与

OC

的夹角为

π

6

或

5

6

π．                              …（7分）
（2）

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，…（8分）
由

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，可得cosα+sinα=

1

2

，①…（10分）
∴(cosα+sinα)2=

1

4

，∴2sinαcosα=-

3

4

，
∵α∈（0，π），∴α∈(

π

2

，π)，
又由(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

7

4

，cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=-

7

2

，②
由①、②得cosα=

1- 7

4

，sinα=

1+ 7

4

，从而tanα=-

4+ 7

3

．…（14分）

点评：本题考查三角函数与向量的数量积的关系，考查计算能力，注意角的范围的应用，常考题型．