Question

12．已知函数$f（x）=|x|+\frac{m}{x}-2$（x≠0）．
（1）当m=2时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明；
（2）讨论f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）通过讨论m的范围，判断函数的零点个数即可．

解答 解：（1）当m=2，且x＜0时，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$是单调递减的．…（1分）
证明：设x₁＜x₂＜0，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-{x_1}+\frac{2}{x_1}-2-（-{x_2}+\frac{2}{x_2}-2）$=$（{x_2}-{x_1}）+（\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}）$=$（{x_2}-{x_1}）+\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}）$
又x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
所以$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}）＞0$
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故当m=2时，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$在（-∞，0）上单调递减的．   …（7分）
（2）由f（x）=0可得x|x|-2x+m=0（x≠0），
变为m=-x|x|+2x（x≠0）
令$g（x）=2x-x|x|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x＞0\\{x^2}+2x，x＜0\end{array}\right.$…（9分）
当m＞1或m＜-1时，f（x）有1个零点．…（11分）
当m=1或m=0或m=-1时，f（x）有2个零点；…（13分）
当0＜m＜1或-1＜m＜0时，f（x）有3个零点．  …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性的证明，考查函数的零点问题以及分类讨论思想，是一道中档题．