Question

20．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AB的中点，经过点A作D₁M的垂面，该垂面被正方体截得部分的面积是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设该垂面与BB₁相交于点E（2，2，t），由$\overrightarrow{{D}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{AE}$，可得$\overrightarrow{{D}_{1}M}$•$\overrightarrow{AE}$=0，可得t．同理可得该垂面与BC相交于点F．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），A（2，0，0），D₁（0，0，2），M（2，1，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（2，1，-2），
设该垂面与BB₁相交于点E（2，2，t），则$\overrightarrow{AE}$=（0，2，t），由$\overrightarrow{{D}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{AE}$，可得$\overrightarrow{{D}_{1}M}$•$\overrightarrow{AE}$=2-2t=0，可得t=1．
因此该垂面与BB₁相交于点E（2，2，1），．
同理可得该垂面与BC相交于点F（1，2，0）．
∴该垂面被正方体截得部分的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×$$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、向量垂直与数量积的关系、三角形面积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．