Question

15．（1）已知tanα=$\frac{1}{3}$，计算：$\frac{1}{{2sinαcosα+{{cos}^2}α}}$．
（2）已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow b$用向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函数的平方关系，化简为正切函数的形式，求解即可．
（2）利用向量的加减运算法则，通过向量的基本定理求解即可．

解答 解：（1）tanα=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{{2sinαcosα+{{cos}^2}α}}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{2sinαcosα+co{s}^{2}α}$
=$\frac{1+ta{n}^{2}α}{2tanα+1}$=$\frac{1+\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{2}{3}$．
（2）如图：向量$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OD}$=-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$．

点评 本题考查平面向量的基本定理以及三角函数的化简求值，考查计算能力．