Question

7．已知椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，2），且离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右焦点分别为F₁、F₂，若在直线x=3上存在点P使得线段PF₂的垂直平分线与椭圆C有且只有一个公共点T，证明：F₁，T，P三点共线．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，a²=b²+c²，联立解得即可得出椭圆C的方程．
（II）由（I）可知：F₂（1，0），且直线F₂P的斜率存在，设其方程为：y=k（x-1），可得P（3，2k），设线段F₂P的中点为D，则D（2，k）．对k分类讨论：当k=0时，线段F₂P的垂直平分线方程为：x=2．不合题意，舍去．k≠0时，线段F₂P的垂直平分线为：y=-$\frac{1}{k}$（x-2）+k．与椭圆方程联立，利用相切的性质可得：△=0，解得k．可得T坐标．对k，分类讨论即可证明．

解答 解：（I）由题意可得：b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，a²=b²+c²，
联立解得b=2，a²=5，c=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
证明：（II）由（I）可知：F₂（1，0），
且直线F₂P的斜率存在，设其方程为：y=k（x-1），∴P（3，2k），
设线段F₂P的中点为D，则D（2，k），
当k=0时，线段F₂P的垂直平分线方程为：x=2．直线x=2与椭圆相交，不合题意，舍去．
k≠0时，线段F₂P的垂直平分线为：y=-$\frac{1}{k}$（x-2）+k．联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=-\frac{1}{k}（x-2）+k}\end{array}\right.$，化为：$（4+\frac{5}{{k}^{2}}）$x²-$（\frac{20}{{k}^{2}}+10）$x+$（\frac{20}{{k}^{2}}+5{k}^{2}）$=0，（*）
△=$（\frac{20}{{k}^{2}}+10）^{2}$-4$（4+\frac{5}{{k}^{2}}）$$（\frac{20}{{k}^{2}}+5{k}^{2}）$=$\frac{80}{{k}^{2}}$-80k²=0，解得k=±1．
（*）方程化为：9x²-30x+25=0，解得x_T=$\frac{5}{3}$，代入椭圆方程可得：y_T=$±\frac{4}{3}$．
当k=1时，F₁（-1，0），T$（\frac{5}{3}，\frac{4}{3}）$，P（3，2），∵${k}_{T{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，∴${k}_{T{F}_{1}}$=${k}_{P{F}_{1}}$，∴F₁，T，P三点共线．
当k=-1时，F₁（-1，0），T$（\frac{5}{3}，-\frac{4}{3}）$，P（3，-2），∵${k}_{T{F}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，${k}_{P{F}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，∴${k}_{T{F}_{1}}$=${k}_{P{F}_{1}}$，∴F₁，T，P三点共线．
综上可得：F₁，T，P三点共线．

点评 本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系、线段垂直平分线的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于难题．