题目内容

已知两个非零向量
a
与
b
，定义
a
×
b
=|
a
||
b
|sinθ，其中θ为
a
与
b
的夹角．若
a
+
b
=(-1，3)，
a
-
b
=(-1，-1)，则
a
×
b
=
2
2
．
分析：根据向量
a
+
b
、
a
-
b
的坐标，求得
a
=(-1，1)，
b
=(0，2)，结合向量数量积的公式，计算出
a
与
b
的长度和夹角θ的余弦值．根据夹角θ的范围，结合同角三角函数的关系得到sinθ的值，最后利用公式
a
×
b
=|
a
||
b
|sinθ，即可算出答案．
解答：解：∵
a
+
b
=(-1，3)，
a
-
b
=(-1，-1)，
∴
a
=(-1，1)，
b
=(0，2)，
根据向量数量积的公式，得
a
•
b
=-1×0+1×2=2，
而
|a|
=
(-1)2+12
=
2
，
|b|
=
02+22
=2
结合θ为
a
与
b
的夹角，得cosθ=
a
•
b
|a|
|b|
=
2
2 •
2
=
2
2

∵0≤θ≤π，∴θ=
π
4
，可得sinθ=
2
2

又∵
a
×
b
=|
a
||
b
|sinθ
∴
a
×
b
=
2
×2×
2
2
=2
故答案为：2
点评：本题给出一个新的定义
a
×
b
=|
a
||
b
|sinθ，通过求这个新定义的值，考查了向量和坐标表示、向量数量积的坐标公式、向量的长度公式及夹角公式等知识点，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知两个非零向量
a
与
b
，若
a
+
b
=(-3，6)，
a
-
b
=(-3，2)，则
a
2-
b
2的值为（　　）
A、-3B、-24C、21D、12
（2012•广州一模）已知两个非零向量
a
与
b
，定义|
a
×
b
|=|
a
||
b
|sinθ，其中θ为
a
与
b
的夹角．若
a
=（-3，4），
b
=（0，2），则|
a
×
b
|的值为（　　）
已知两个非零向量
a
与
b
，
a
+
b
=（-3，6），
a
-
b
=(-3，2)，则
a
2-
b
2=
21
21
．
（2009•淮安模拟）已知两个非零向量
a
与
b
，定义
a
?
b
=|
a
||
b
|sinθ，其中θ为
a
与
b
的夹角．若
a
+
b
=(-3，6)，
a
-
b
=(-3，2)，则
a
?
b
=
6
6
．

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