Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题意知（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，知c=2．
（2）由题意知a_n-a_n-1=（n-1）c，所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．由此可知a_n=n²-n+2（n=1，2，）

解答：解：（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=2．
（2）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．