Question

【题目】直四棱柱被平面所截得到如图所示的五面体，，．

（1）求证：∥平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用面面平行的性质定理，可证得线面平行；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于的直线为轴，如图建系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，求出向量夹角的余弦值，即可得到答案；

（1）在直四棱柱中，平面，

∵平面，∴

∵，，∴平面

同理可证平面，

∴平面平面，

∵平面，∴平面

（2）∵平面平面，平面平面，平面平面，∴∥，

∴和与平面所成角相等，即；

∵，∴，∴，

以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于的直线为轴，如图建系，

，，，，

∴，，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，

则，

由图知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．