Question

【题目】如图，三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，侧棱设点M，N分别为PC，BC的中点.

（Ⅰ）求证：BC⊥面AMN；

（Ⅱ）求直线AP与平面AMN所成角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）30°

【解析】

（Ⅰ）根据边长关系可以计算，由传递性可得，再根据等边三角形的性质可知，由此可证明. （Ⅱ）利用BC⊥面AMN的关系，过P做面AMN的垂线，则为所求角，根据长度关系可求出角的正弦值，进而求出角的大小.

（Ⅰ）因为，所以为直角三角形，由勾股定理逆定理可知，

所以，在等边三角形中，为中点，所以，又，所以面.

（Ⅱ）延长到，使，连接，，于是四边形为平行四边形.所以，

根据前一问的结论可知面，所以直线直线AP与平面AMN所成角.

在直角三角形中，，所以.