Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，

【解析】

（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a、b，即可写出椭圆方程；（2）设出直线的方程与点的坐标，求出直线BP、BQ的方程进而求出点M、N的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于、的表达式，直线的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出、，代入横坐标的乘积化简即可证明.

（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，

①，又由，化简得②，

①②两式联立解得：或（舍去），，

椭圆方程为；

（2）设直线的方程为，的坐标分别为

则直线的方程为，令，得点的横坐标，

直线的方程为，令，得点的横坐标，

把直线代入椭圆得，

由韦达定理得，

∴，是定值．