Question

已知向量

a

=(m，1)与

b

=(1，n-1)互相垂直，且点（m，n）在第一象限内运动，则log₂m+log₂n的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根据两个向量垂直数量积为0，得到两个向量坐标的关系，要求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式变化得到结果．注意这个关系中等号成立的条件．

解答：解：∵向量

a

=(m，1)与

b

=(1，n-1)垂直，
有（m，1）•（1，n-1）=0，
∴m+n=1；
又m＞0，n＞0，
∴log₂m+log₂n=log2mn≤log2(

m+n

2

)2=log22-2=-2，
当且仅当m=n=

1

2

时“=”成立．
故答案为：-2．

点评：本题是一个综合题，即考到向量垂直的充要条件，对数的性质还考到基本不等式．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零．