Question

已知向量

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

且满足f(

π

2

)=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的最小正周期、最值及其对应的x值；
（3）锐角△ABC中，若f(

π

12

)=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积公式，结合f(

π

2

)=1，即可求函数y=f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的性质，即可求函数y=f（x）的最小正周期、最值及其对应的x值；
（3）先求A，再利用余弦定理，即可求BC的长．

解答：解：（1）∵

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)且f(x)=

a

•

b

∴f（x）=msinx+cosx，
又f(

π

2

)=1，∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，∴m=1，
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)；
（2）T=2π
当x=

π

4

+2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为

2

；当x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值为-

2

；
（3）∵f(

π

12

)=

2

sinA，∴

2

sin

π

3

=

2

sinA
∵A是锐角△ABC的内角，∴A=

π

3

∵AB=2，AC=3，∴BC=

AC2+AB2-2AB•AC•cosA

=

7

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查正弦函数的性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．