Question

【题目】已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.

（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；

（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；

（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）（3）存在满足题设条件的;此时

【解析】

(1)根据题意构造等比数列结构证明即可.

(2)根据数列的取值范围可得,进而分析得

求解即可.

(3)利用裂项相消求和求得,再根据题意用关于的表达式,再分析取值范围即可.

（1）由得,由于,

故,即,所以.

故数列为等比数列,且,所以.

（2）,故,,

其中（常数）,所以数列是以1为首项、2为公差的等差数列,

,,,.

由（1）可得,,,因为,,

所以

.

（3）,

.

其中,,,

假设存在正整数,使得、、成等比数列,

则有,即,所以,

解得,又因为,,所以,此时,

所以存在满足题设条件的、.