Question

1．已知圆O：x²+y²=4及点P（1，1），圆C的圆心在直线y=2x上，且与圆O相交于A，B两点，直线AB经过点P．
（1）求直线AB的方程及两圆公共弦长；
（2）若圆O与圆C在点A处的切线互相垂直，求圆C的圆心坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意，直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，可得直线AB的方程；求出O到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，可得两圆公共弦；
（2）利用圆O与圆C在点A处的切线互相垂直，可得OA⊥CA，求出OC，即可求圆C的圆心坐标．

解答 解：（1）由题意，直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，∴直线AB的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0；
O到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，∴两圆公共弦长=2$\sqrt{4-\frac{9}{5}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．
（2）∵圆O与圆C在点A处的切线互相垂直，
∴OA⊥CA，
∴16=$\frac{3}{\sqrt{5}}$×OC，
∴OC=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，
设C（a，2a），则a²+4a²=$\frac{256×5}{9}$，∴a=±$\frac{16}{3}$，
∴C（$\frac{16}{3}$，$\frac{32}{3}$）或（-$\frac{16}{3}$，-$\frac{32}{3}$）．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．