Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ） 当a＝0时，求曲线f（x）在x ＝1处的切线方程；

（Ⅱ） 设函数，求函数h（x）的极值；

（Ⅲ） 若在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切线方程为 ；

（Ⅱ）当 时， 在 处取得极大值 ，无极小值；当 时， 在区间 上无极值；

（Ⅲ）或

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算，根据点斜式即可求出切线方程；（Ⅱ）求出的导数，通过讨论的范围，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅲ）问题转化为函数在上，有，通过讨论的范围，得到函数的单调性，从而求出的范围即可.

试题解析：（Ⅰ） 当a＝0时，f （x） ＝, f （1） ＝1, 则切点为（1, 1），分

∵, ∴切线的斜率为,

∴曲线f （x）在点（1, 1）处的切线方程为y1＝ （ x1），即x+ y2＝0

（Ⅱ）依题意，定义域为（0, +∞），

∴,

①当a+1＞0，即a＞1时，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a,

此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增，

令，得 x＞1+ a．

此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减．

②当a+1≤0，即a≤1时， 恒成立， h（x）在区间（0,+∞）上单调递减．

综上，当a＞1时，h（x）在x＝1+a处取得极大值h（1+a）＝，无极小值；

当a≤1时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值．

（Ⅲ） 依题意知，在[1, e]上存在一点x0，使得成立,

即在[1, e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0，

故函数在[1, e]上，有h（x）max≥0．

由（Ⅱ）可知，①当a+1≥e, 即a≥e1时，h（x）在[1, e]上单调递增，

∴, ∴,

∵，∴．

②当0＜a+1≤1，或a≤1，即a≤0时，h（x）在[1, e]上单调递减，

∴，∴a ≤2．

③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e1时，

由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值，

即h（x）max＝h（1+a）＝，

∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0在[1, e]上恒成立，

此时不存在x0使h（x0）≥0成立．

综上可得，所求a的取值范围是或a≤2．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性及极值值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.