Question

已知函数．（1）求函数的单调区间；
（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）

递减	递增	递减	递增	递增

其中    
（2）.

试题分析：（1）函数的定义域为，．设 ，                  
①当时，，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减． 
②当时，（I）由得.
当时，恒成立，
在上单调递增． 当时，恒成立，在上单调递减．
（II）由得或；.当时，开口向下，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．
当 ，开口向上，在上恒成立，则在上恒成立，
此时 在上单调递增．
（III）由得
若，开口向上，，且，，都在上. 由，即，得或；
由，即，得．
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为．  
当时，抛物线开口向下，在
恒成立，即在（0，+恒成立，所以在单调递减
综上所述：

递减	递增	递减	递增	递增

其中    
（2）因为存在一个使得，
则，等价于.令，等价于“当 时，”.
对求导，得. 因为，由，所以在上单调递增，在上单调递减.   
由于，所以，因此.
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合