Question

19．已知函数f（x）=|2x+4|-|x-a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥10；
（2）当a＞0时，f（x）≥a²-3恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，由f（x）≥10得|2x+4|-|x-1|≥10．然后对x分类求解，最后取并集得答案；
（2）写出a＞0时函数f（x）的分段解析式，根据函数的解析式可得，当x=-2时，函数取得最小值为f（-2）=2+a，由f（-2）=2+a≥a²-3求得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）≥10，可以变为|2x+4|-|x-1|≥10；
当x＜-2时，-（2x+4）+（x-1）≥10，即x≤-15；
当-2≤x≤1时，$2x+4+x-1≥10，3x≥7，x≥\frac{7}{3}$，无解；
当x＞1时，$2x+4-x+1≥10，x≥\frac{5}{3}$，
∴不等式的解集为{x|x≥$\frac{5}{3}$或x≤-15}；
（2）当a＞0时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-x-4-a，x＜-2}\\{3x+4-a，-2≤x≤a}\\{x+4+a，x＞a}\end{array}}\right.$，
根据函数的解析式可得，当x=-2时，函数取得最小值为f（-2）=2+a，
可知f（-2）=2+a≥a²-3，
解得$0＜a＜\frac{{-1+\sqrt{21}}}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，训练了恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．