Question

16．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（I）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（II）设c_n=n•（a_n+1），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1+1=2（a_n+1），得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，由此能证明{a_n+1}是公比为2的等比数列．
（II）数列{a_n+1}的首项为2，公比为2，从而${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，${c}_{n}=n•{2}^{n}$，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 （本题满分12分）
证明：（I）∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴由a_n+1+1=2（a_n+1），得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，
∴{a_n+1}是公比为2的等比数列．  …（4分）
解：（II）由（I）知，数列{a_n+1}的首项为a₁+1=2，公比为2，
${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，${c}_{n}=n•{2}^{n}$，…（6分）
${T}_{n}=1•2+2•{2}^{2}+…+n•{2}^{n}$，①
∴2T_n=2¹+2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得：
-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．