Question

4．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列{x_n}，由f（x_n）=n（n=1，2…）定义，
（文科）则x₁+x₂=$2+\frac{1}{b}$
（理科）则x_n的通项公式为${x}_{n}=\frac{b-\frac{1}{{b}^{n-1}}}{b-1}$．

Answer 1

分析 通过f（0）=0、f（x₁）=1，可知$\frac{f（{x}_{1}）-f（0）}{{x}_{1}-0}$=1，计算可知x₁=1，通过f（x₂）=2可知$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=b，计算可知x₂-x₁=$\frac{1}{b}$；由此入手，通过记x₀=0可知$\frac{f（{x}_{n}）-{f（x}_{n-1}）}{{x}_{n}-{x}_{n-1}}$=b^n-1，进而可知数列{x_n-x_n-1}是以1为首项、$\frac{1}{b}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：依题意f（0）=0，
∵f（x₁）=1，
∴当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b⁰=1的线段，
故由$\frac{f（{x}_{1}）-f（0）}{{x}_{1}-0}$=1，可知x₁=1；
又∵f（x₂）=2，
∴当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，
故由$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=b，可知x₂-x₁=$\frac{1}{b}$，
∴x₂=x₁+$\frac{1}{b}$=1+$\frac{1}{b}$；
于是x₁+x₂=$2+\frac{1}{b}$．
记x₀=0，由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，
可知$\frac{f（{x}_{n}）-{f（x}_{n-1}）}{{x}_{n}-{x}_{n-1}}$=b^n-1，
又∵f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，
∴x_n-x_n-1=$\frac{1}{{b}^{n-1}}$（n=1，2，…），
从而数列{x_n-x_n-1}是以1为首项、$\frac{1}{b}$为公比的等比数列，
又∵b≠1，
∴x_n=$\sum_{k=1}^{n}（{x}_{k}-{x}_{k-1}）$=1+$\frac{1}{b}$+…+$\frac{1}{{b}^{n-1}}$=$\frac{b-\frac{1}{{b}^{n-1}}}{b-1}$；
故答案为：$2+\frac{1}{b}$、${x}_{n}=\frac{b-\frac{1}{{b}^{n-1}}}{b-1}$．

点评 本小题主要考查函数的基本概念、等比数列等基础知识，考查归纳、推理和综合的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．