Question

13．已知数列{log₂（a_n-1）}，（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₄=17．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析 （1）通过记b_n=log₂（a_n-1），利用a₁=3、a₄=17可知数列{b_n}是以首项、公差均为1的等差数列，进而可知log₂（a_n-1）=n，计算即得结论；
（2）通过a_n=1+2ⁿ，利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（1）记b_n=log₂（a_n-1），依题意，有
b₁=log₂（a₁-1）=1，b₄=log₂（a₄-1）=4，
∴数列{b_n}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴b_n=n，即log₂（a_n-1）=n，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+2ⁿ；
（2）∵a_n=1+2ⁿ，
∴S_n=（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．