Question

已知函数f（x）=sinx（sinx+

3

cosx），其中x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若cos（α+

π

6

）=

3

4

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为sin（2x-

π

6

）+

1

2

，由x的范围求得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，从而求得f（x）的最大值和最小值．
（2）利用诱导公式化简f（α）为cos2（α+

π

6

）+

1

2

=2，再用二倍角公式运算求得结果．

解答：解：（1）∵已知函数f（x）=sinx（sinx+

3

cosx）=sin²x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3 sin2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
故当2x-

π

6

=

π

2

时，f（x）的最大值为 1+

1

2

=

3

2

，
故当2x-

π

6

=-

π

6

时，f（x）的最小值为-

1

2

+

1

2

=0．
（2）若cos（α+

π

6

）=

3

4

，
则f（α）=sin（2α-

π

6

）+

1

2

=-cos[

π

2

+（2α-

π

6

）]+

1

2

=cos2（α+

π

6

）+

1

2

=2cos2(α+

π

6

)-

1

2

=2×

9

16

-

1

2

=

5

8

．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．