Question

【题目】已知函数

(Ⅰ)若，求在处的切线方程；

(Ⅱ)证明：对任意正数，函数和的图像总有两个公共点.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：（I）先根据导数几何意义得切线的斜率,再根据点斜式得切线方程；（Ⅱ）函数和的图像总有两个公共点，等价于 总有两个实数根.变量分离得，再根据导数研究函数单调性，结合图像确定有两个交点的条件，即得证.

试题解析：（I）时，则

在处的切线的斜率

又时， 即切点，

所以在处的切线方程为：

，即

（Ⅱ）法一：

记

则（已知）.

因为有意义，

所以

所以在单调递减，在单调递增，

故

记

因为

所以在单调递增，在单调递减，

故

故恒成立，即

又时， 时， ，

故在和各有一个零点，

即和的图像在和各有且只有一个公共点.

法二：函数和的图像总有两个公共点，等价于 总有两个实数根.

显示不是该方程的根.

当时，

记

则

再记

因为

所以在单调递增，在单调递减

所以

即

从而在和均单调递增，

又时， 时， 时， ，

又时， 时， 时， ，

的草图如图：

故对任意的正数，直线与的图像总有两个公共点，

即方程总有两个根，

即函数和的图像总有两个公共点，命题得证.