Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）60°.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明平面内的直线，垂直平面内两条相交的直线，即可证明平面平面；（Ⅱ）连交于，由，可得∽ ，再由平面推出，即可求出的值；（Ⅲ）以为坐标原点，以， ， 所在的直线为， ， 轴，建立空间直角坐标系，分别求出求出平面与平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

试题解析：证明：（Ⅰ）连接BD.

因为AD=AB，∠BAD=60°，

所以△ABD为正三角形.

因为Q为AD的中点，

所以AD⊥BQ.

因为PA=PD，Q为AD中点，

所以AD⊥PQ.

又BQ∩PQ=Q，

所以AD⊥平面PQB.

因为，

所以平面PQB⊥平面PAD.

（Ⅱ）连接AC，交BQ于点N.

由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，

所以.

因为PA∥平面MQB， ，平面PAC∩平面MQB=MN，

所以PA∥MN.

所以，即，所以.

（Ⅲ）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

所以PQ⊥平面ABCD.

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)， ，Q(0,0,0)， .， .

设平面MQB的法向量为n=(x,y,z)，

可得

因为PA∥MN，所以即

令z=1，则，y=0.

于是.

取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，

所以.

故二面角M-BQ-C的大小为60°.