Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；

（2）若f(x)有两个极值点证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求得函数的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论，判断出的极值点个数.

（2）由（1）知，结合韦达定理求得的关系式，由此化简的表达式为，通过构造函数法，结合导数证得，由此证得成立.

（1）函数的定义域为

得，

（i）当时；，

因为时，时，，

所以是函数的一个极小值点；

（ii）若时，

若，即时，，

在是减函数，无极值点.

若，即时，

有两根，

不妨设

当和时，，

当时，，

是函数的两个极值点，

综上所述时，仅有一个极值点；

时，无极值点；时，有两个极值点．

（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，

，则

所以

设，则，又，即，

所以

所以是上的单调减函数，

有两个极值点，则