Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为常数且，为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若和相交于、两点，以线段为一条边作的内接矩形，当矩形的面积取最大值时，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为：;直线的直角坐标方程为： (2)

【解析】

(1)曲线利用平方可消去参数，直线可用代入法消去参数，得到普通方程.
(2)利用均值不等式的方法可求出圆的内接矩形面积最大时为内接正方形，即,然后利用圆中的垂径定理结合点到直线的距离可求得答案.

（1）曲线的参数方程为（为参数）.

所以曲线的直角坐标方程为：.

直线的参数方程为（为常数且，为参数）.

所以直线的直角坐标方程为：.

(2)如图，直线过定点.

设. 因为为的内接矩形.则为直径,即

所以.

矩形对的面积为,.

,当且仅当时取等号.

圆的半径，圆心到直线的距离为：

由，解得：.