题目内容

求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除．

答案：
解析：

　　证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36能被9整除．

　　(2)假设当n＝k时命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3

　　＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9k2＋27k＋27

　　＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9[k2＋3k＋3]能被9整除．

　　由(1)(2)可知命题成立．


练习册系列答案
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（2012•汕头二模）在数列{an}中，a1=1、a2=
1
4
，且an+1=
(n-1)an
n-an
(n≥2)．
（Ⅰ） 求a3、a4，猜想an的表达式，并加以证明；
（Ⅱ） 设bn=
an•an+1
an
+
an+1
，求证：对任意的自然数n∈N*，都有b1+b2+…+bn＜
n
3
．
（2011•延庆县一模）对于数列{an}，如果存在一个数列{bn}，使得对于任意的n∈N*，都有an≥bn，则把{bn}叫做{an}的“基数列”．
（Ⅰ）设an=-n2，求证：数列{an}没有等差基数列；
（Ⅱ）设an=n3-n2-2tn+t2，bn=n3-2n2-n+
5
4
，（n∈N*），且{bn}是{an}的基数列，求t的取值范围；
（Ⅲ）设an=1-e-n，bn=
n
n+1
，（n∈N*），求证{bn}是{an}的基数列．
（2011•黄冈模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=
n(a1+an)
2
(n∈N*)；数列{bn}满足b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=
n
3
(n∈N*)
（1）求证：数列{an}是等差数列．
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（3）在（2）的条件下，设数列{
an
bn
}前n项和为Tn，试比较
4
3
Tn与（2n2+3n-2）•2n-1的大小．
已知数列{an}满足a1=-1，an+1-2an-3=0；数列{bn}满足bn=log2（an+3）；
（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的前n项和Sn
（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Tn，并判断Tn与n3的大小（n∈N*）．

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