Question

（2012•汕头二模）在数列{a_n}中，a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ） 设bn=

an•an+1

an + an+1

，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用数列递推式，代入计算可得a₃、a₄，由此猜想a_n的表达式，再利用数学归纳法进行证明，证明n=k+1时，由题设与归纳假设，可得结论；
（Ⅱ）先对通项化简，再用裂项法求和，进而利用分析法进行证明即可．

解答：（Ⅰ） 解：（1）∵a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)，
∴a₃=

a2

2-a2

=

1

7

，a4=

2a3

3-a3

=

1

10

故可以猜想an=

1

3n-2

，下面利用数学归纳法加以证明：
（i） 显然当n=1，2，3，4时，结论成立，
（ii） 假设当n=k（k≥4），结论也成立，即ak=

1

3k-2

那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

(k-1)× 1 3k-2

k- 1 3k-2

=

1

3(k+1)-2

即当n=k+1时，结论也成立，
综上，an=

1

3n-2

成立．
（Ⅱ）证明：bn=

an•an+1

an + an+1

=

1

3

(

3n+1

-

3n-2

)
所以b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[(

4

-1)+(

7

-

4

)+…+(

3n+1

-

3n-2

)]=

1

3

(

3n+1

-1)
所以只需要证明

1

3

(

3n+1

-1)＜

n 3

只需证明

3n+1

＜

3n

+1
只需证明：3n+1＜3n+2

3n

+1
只需证明0＜2

3n

，显然成立
所以对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的猜想与证明，考查数列的求和与分析法证明的运用，属于中档题．