Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0；数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+3）；
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{a_n}的前n项和S_n
（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和T_n，并判断T_n与n³的大小（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1-2a_n-3=0，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），可得数列{a_n+3}是等比数列；
（II）由（I）利用等比数列的通项公式即可得出a_n，进而利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（III）由（II）可得b_n=n，利用等差数列的前n项和公式即可得出T_n，再利用“作差法”即可比较出T_n与n³的大小．

解答：解：（I）由a_n+1-2a_n-3=0，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），
∴数列{a_n+3}是以a₁+3=2为首项，2为公比的等比数列；
（II）由（I）可得：an+3=2×2n-1，
∴an=2n-3．
∴Sn=(2+22+…+2n)-3n=

2(2n-1)

2-1

-3n=2ⁿ⁺¹-2-3n．
（III）bn=log2(2n-3+3)=n．
∴T_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴n³-T_n=

2n3-n2-n

2

=

n(2n+1)(n-1)

2

，
当n=1时，1³=T₁；
当n≥2时，n³＞T_n．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式、可化为等比数列的数列的通项公式的求法、“作差法”比较两个数的大小等基础知识与基本技能南方，属于难题．