Question

已知B₁，B₂为椭圆C₁：短轴的两个端点，F为椭圆的一个焦点，△B₁FB₂为正三角形，
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）设点P在抛物线C₂：y=上，C₂在点P处的切线与椭圆C₁交于A、C两点，若点P是线段AC的中点，求AC的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设F（c，0），根据△B₁FB₂为正三角形求出c值，再根据a²=c²+b²求出a，从而写出椭圆C₁的方程；
（II）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x，y），利用导数几何意义求出直线AC的斜率，利用A，C在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程后作差表示出直线AC的斜率从而解得x=0或x=±最后得出点P的坐标及直线AC的方程．
解答：解：（I）∵B₁（0，-1），B₂（0，1），设F（c，0）
∵△B₁FB₂为正三角形
∴c= …（2分）
∴a²=c²+b²=4
∴椭圆C₁的方程是…（4分）
（II）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x，y）
∵函数y=的导数为y′=
∴直线AC的斜率 K_AC=…（6分）
∵A，C在椭圆上，
∴  （1）-（2）得：
=0…（9分）
∴直线AC的斜率k_AC=
又∵得
x（x²-2）=0，
解得：x=0或x=±  …（13分）
当x=0时，P点坐标为（0，-1），直线AC与椭圆相切，舍去；
当x=± 时，点P的坐标为（±，-），显然在椭圆内部，
所以直线AC的方程是：y=±x- …（15分）
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的综合、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．