Question

已知椭圆C：的离心率，两焦点为F₁，F₂，B₁，B₂为椭圆C短轴的两端点，动点M在椭圆C上．且△MF₁F₂的周长为18．
（I）求椭圆C的方程；
（II）当M与B₁，B₂不重合时，直线B₁M，B₂M分别交x轴于点K，H．求的值；
（III）过点M的切线分别交x轴、y轴于点P、Q．当点M在椭圆C上运动时，求|PQ|的最小值；并求此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，得①，由△MF₁F₂的周长为18，得a+c=9②．联立①②解得a，c，根据b²=a²-c²可求得b；
（II）由（I）易求B₁，B₂坐标，设M（x，y）（x≠0），由点斜式可得直线B₁M的方程、直线B₂M的方程，由直线方程可得点K、H坐标，通过计算可得的值；
（III）设切线方程为：y=kx+m（k≠0），代入椭圆方程得，（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0（*），则△=0，点P（-，0），Q（0，m），由两点间距离公式可得|PQ|²，利用基本不等式求其最小值，由等号成立条件可求得k值，进而得m值，再代入（*）式可得点M横坐标，进而得纵坐标，根据对称性可得其它象限的坐标；
解答：解：（I）由，得①，
由△MF₁F₂的周长为18，得2a+2c=18，即a+c=9②．
联立①②解得a=5，c=4，所以b²=a²-c²=9，
所以椭圆C的方程为：；
（II）由（I）可得B₁（0，-3），B₂（0，3），
设M（x，y）（x≠0），则直线B₁M的方程为：y=x-3，直线B₂M的方程为：y=x+3，
令y=0，得，，则，，
所以==，
又，所以，代入上式，得==25；
（III）设切线方程为：y=kx+m（k≠0），代入椭圆方程得，（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0（*），
则△=（50km）²-4（25k²+9）（25m²-225）=0，即m²=25k²+9①，
点P（-，0），Q（0，m），
则|PQ|²====+34=64，
当且仅当，即k=时取等号，
所以|PQ|的最小值为8，
此时m²=25k²+9=24，所以m=，
当m=2，k=时，代入（*）式并化简得，
解得x=-，y=×（-）+2=，
此时点M（-，），
由椭圆的对称性可得当点M在第一、三、四象限时坐标分别为：（，），（-，-），（，-）．
点评：本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算、基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力．