题目内容
已知函数f（x）=cos2x+1+
sin2x；求
（1）函数f（x）的周期；
（2）函数f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）在区间[0，
]上的最值．
| 3 |
（1）函数f（x）的周期；
（2）函数f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
分析：由题设条件，先对函数f（x）化简，将其整理成f（x）=2sin(2x+
)+1
（1）由求周期公式求出周期，由于ω=2，周期易求；
（2）由正弦函数的性质，令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，解出x的取值范围即得到函数的递减区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，
]上的最值，可先求出相位2x+
∈[
，
]，再求出sin(2x+
)∈[-
，1]，进而求出函数的最值．
| π |
| 6 |
（1）由求周期公式求出周期，由于ω=2，周期易求；
（2）由正弦函数的性质，令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
（3）求函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：f(x)=cos2x+1+
sin2x=2sin(2x+
)+1…（4分）
（1）最小正周期T=
=π； …（6分）
（2）当2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，即kπ+
≤x≤kπ+
k∈Z时，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]k∈Z．…（10分）
（3）∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，∴sin(2x+
)∈[-
，1]
∴f(x)max=f(
)=3，f(x)min=f(
)=0．…（14分）
| 3 |
| π |
| 6 |
（1）最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）当2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（3）∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴f(x)max=f(
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，利用公式进行化简，熟练掌握正弦函数的性质也很关键，本题中考查了求函数在某个区间上的值域的方法，由内而外求出函数的取值范围，注意在解题时应用此方法，三角函数最值用此方法求解比用单调性求解简单不少．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同实数解的充要条件是（ ）
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| A、b＜-2且c＞0 |
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