Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：AD₁⊥B₁E；
（2）若AB=2，求平面AB₁E把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成的两部分几何体的体积的比值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）作辅助线B₁C和A₁D，证明AD₁⊥面A₁B₁CD，从而证明AD₁⊥B₁E；（2）利用体积公式求解．

解答： 解：（1）连B₁C和A₁D
由长方体的性质可知CD⊥平面A₁ADD₁，从而CD⊥A₁D

又AA₁=AD=1，所以四边形AA₁D₁D是正方形
所以AD₁⊥A₁D
因为CD∩A₁D=D，所以AD₁⊥面A₁B₁CD
因为B₁E?面A₁B₁CD，所以AD₁⊥B₁E
（2）取C₁C中点F，连EF和B₁F
易证EF||AB₁，所以平面AB₁E即为平面AEFB₁，其把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成两部分．
连BF，则VF-ABCE=

1

3

SABCE•FC=

1

3

×

1

2

×(1+2)×1×

1

2

=

1

4

VF-ABB1=

1

3

SABB1•BC=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

所以几何体CEF-ABB₁的体积VCEF-ABB1=

1

4

+

1

3

=

7

12

而长方体的体积V=2×1×1=2
所以平面AB₁E把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成的两部分
几何体的体积的比等于

7 12

2- 1 12

=

7

17

点评：考查了空间中线线垂直、线面垂直的证明与性质，及几何体的体积求法．属于中档题．