Question

7．设满足方程（2alna-b）²+（c²-mc+3+d）²=0的点（a，b），（c，d）的运动轨迹分别为曲线M，N，若在区间[$\frac{1}{e}$，e]内，曲线M，N有两个交点（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则实数m的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 4+2ln3
• C． e+2+$\frac{3}{e}$
• D． $\frac{1}{e}$+3e-2

Answer 1

分析 通过一个数的平方为非负数可知曲线M：y=2xlnx、曲线N：y=-x²+mx-3，利用数形结合可知曲线N在x取e时y的值等于2elne=2e时m的值最大，计算即得结论．

解答 解：∵（2alna-b）²+（c²-mc+3+d）²=0，
∴2alna-b=0，c²-mc+3+d=0，
依题意，曲线M：y=2xlnx，曲线N：y=-x²+mx-3，
其中曲线N可化为：y=-$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3，其图象如图，
要使在区间[$\frac{1}{e}$，e]内曲线M，N有两个交点，
则必有曲线N在x取e时y的值需小于或等于2elne=2e，
故要使得m最大，只需2e=-e²+me-3，
解得：m=$\frac{{e}^{2}+2e+3}{e}$=e+2+$\frac{3}{e}$，
故选：C．

点评 本题考查函数的图象及性质，利用数形结合是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．