Question

17．已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负．
（1）求实数a，b的值及函数f（x）的表达式；
（2）设F（x）=-$\frac{k}{4}$f（x）+1，如果F（x）的图象与一次函数y=-kx-56有两个不同交点，求F（x）的图象被x轴截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由韦达定理得到方程组，解出即可；
（2）根据二次函数和一次函数的交点个数求出k的范围，再设F（x）的图象与x轴的交点的横坐标，表示出弦长，从而求出其范围．

解答 解：（1）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a=-2+6=4}\\{\frac{2b{-a}^{3}}{a}=-2×6=-12}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-8}\end{array}\right.$．
∴此时a=-4，b=-8．
f（x）=-4x²+16x+48．
（2）F（x）=-$\frac{k}{4}$（-4x²+16x+48）+1=kx²-4kx-12k+1，
如果F（x）的图象与一次函数y=-kx-56有两个不同交点，
显然k≠0，则kx²-3kx-12k+57=0有2个不相等的实数根，
∴△=9k²-4k（-12k+57）＞0，解得：k＞4或k＜0，
设F（x）的图象与x轴的交点的横坐标是：x₁，x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=$\frac{-12k+1}{k}$，
则F（x）的图象被x轴截得的弦长d=|x₁-x₂|，
∴d=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{16+\frac{4（12k-1）}{k}}$=$\sqrt{64-\frac{4}{k}}$，
∵k＞4或k＜0，
∴当k→∞时，d→8，
∴0＜d＜8．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查韦达定理的应用，弦长公式，是一道中档题．