题目内容

已知A，B，C是同一平面上不共线的三点，且
AB
•
AC
=
BA
•
BC
．
（1）求证：∠CAB=∠CBA；
（2）若
AB
•
AC
=2，求A，B两点之间的距离．
分析：（1）由题意可得：
AB
=
AC
-
BC
，因为
AB
(
AC
+
BC
)=0，所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，进而得到答案．
（2）直接根据向量的数量积结合余弦定理即可求出结论．
解答：解：（1）因为在△ABC中，
所以
AB
=
AC
-
BC
．
又因为△ABC中，
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，即
AB
(
AC
+
BC
)=0，
所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，
所以|
AC
|=|
BC
|．
∴∠CAB=∠CBA；
（2）设AB=b，AC=BC=a，
∴
AB
•
AC
=abcosA=ab•
a2+b2-a2
2ab
=
b2
2
=2；
∴b=2．
故A，B两点之间的距离为：2．
点评：本题考查向量的三角形法则与利用向量的数量积运算求向量的模以及余弦定理的应用．是对知识的综合考查．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，2）
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求
c
的坐标；
（2）若|
b
|=
5
2
，且2
a
+
b
与
a
-3
b
垂直，求
a
与
b
的夹角θ．
已知
a
，
b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，-2）．
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求向量
c
的坐标；
（2）若|
b
|=
2
，且
a
+
b
与
a
-2
b
垂直，求
a
与
b
的夹角θ的余弦值．
已知
a
，
b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=(1， 2)．
（Ⅰ）若|
b
|=3
5
，且
b
∥
a
，求
b
的坐标；
（Ⅱ）若
c
与
a
的夹角θ的余弦值为-
5
10
，且(
a
+
c
)⊥(
a
-9
c
)，求|
c
|．
已知
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k
a
+
b
+
c
|＞1，则实数k的取值范围是（　　）

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