Question

已知

a

、

b

、

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且2

a

+

b

与

a

-3

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

分析：（1）根据

c

∥

a

，可设

c

=λ

a

=（λ，2λ），根据|

c

|=2

5

以及向量模的公式可求出向量

c

的坐标；
（2）根据2

a

+

b

与

a

-3

b

垂直，则（2

a

+

b

）•（

a

-3

b

）=0，再根据数量积公式求出

a

•

b

的值，最后根据cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

可求出

a

与

b

的夹角θ．

解答：解：（1）∵

c

∥

a

，
∴设

c

=λ

a

=λ（1，2）=（λ，2λ），
∴|

c

|=

λ2+4λ2

=2

5

，
∴λ=±2，
∴

c

=（2，4）或

c

=（-2，-4）；
（2）∵2

a

+

b

与

a

-3

b

垂直，
∴（2

a

+

b

）•（

a

-3

b

）=0，
即2

a

2-5

a

•

b

-3

b

2=0，
∵|

a

|=

5

，|

b

|=

5

2

，
∴2×5-5

a

•

b

-3×

5

4

=0，即

a

•

b

=

5

4

，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

5 4

5 × 5 2

=

1

2

，
则θ=＜

a

，

b

＞=

π

3

．

点评：本题主要考查了向量的数量积，平行垂直的应用等，熟练掌握向量共线定理和模的计算公式、向量垂直与数量积的关系等是解题的关键．属于基础题．