Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=(1， 2)．
（Ⅰ）若|

b

|=3

5

，且

b

∥

a

，求

b

的坐标；
（Ⅱ）若

c

与

a

的夹角θ的余弦值为-

5

10

，且(

a

+

c

)⊥(

a

-9

c

)，求|

c

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可设

b

=λ

a

=(λ， 2λ)，结合向量的模长可得λ的值，进而可得答案；
（Ⅱ）由题意可得

a

•

c

=|

a

||

c

|cosθ=-

1

2

|

c

|，|

a

|2-8

c

•

a

-9|

c

|2=0，综合可解得|

c

|的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

b

∥

a

，可设

b

=λ

a

=(λ， 2λ)，…（1分）
则|

b

|2=λ2+4λ2=45，解得λ²=9…（2分）
∴λ=±3，∴

b

=(3， 6)．或

b

=(-3， -6)．…（3分）
（Ⅱ）∵cosθ=-

5

10

，|

a

|=

5

，∴

a

•

c

=|

a

||

c

|cosθ=-

1

2

|

c

|．                             …（4分）
又∵(

a

+

c

)⊥(

a

-9

c

)，∴(

a

+

c

)•(

a

-9

c

)=0…（5分）
∴|

a

|2-8

c

•

a

-9|

c

|2=0，∴5+4|

c

|-9|

c

|2=0…（6分）
解得|

c

|=1或|

c

|=-

5

9

（舍）
∴|

c

|=1…（7分）

点评：本题考查向量的夹角和向量的平行，属中档题．