Question

19．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=$\sqrt{5}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x-$\frac{π}{4}$）+φ]，根据三角形的面积公式，即可求出T，再根据于g（0）=1，求出φ，问题得以解决，
（Ⅱ）先根据g（A）=1，求出A，再根据余弦定理和三角形面积公式，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x-$\frac{π}{4}$）+φ]，
由于S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2•|PQ|=$\frac{π}{2}$，则|PQ|=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，即ω=2，
又由于g（0）=2sin（φ-$\frac{π}{2}$）=1，且-$\frac{π}{2}$＜φ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
则φ-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$，
∴φ=$\frac{2π}{3}$，
即g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{2π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）g（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$）则2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得b²+c²-2bccos A=a²=5，
∴5=b²+c²-bc≥bc，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A≤$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，当且仅当b=c=$\sqrt{5}$时，等号成立，
故S_△ABC的最大值为$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角形函数的解析式的求法和余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．