Question

7．已知直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{t=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ+4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程和参数方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，把互化公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角标准方程．利用cos²α+sin²α=1即可得出参数方程．
（2）解法一：直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，可得直线l被圆C截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．
解法二：将$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$代入（x-2）²+（y-1）²=5得，$4{t^2}-4\sqrt{3}t-1=0$，设直线l与曲线C的交点对应的参数分别为t₁，t₂，又直线l的参数方程可化为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}（2t）}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2t）}\end{array}}\right.$，可得直线l被曲线C截得的弦长为|2t₁-2t₂|=2$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得x²+y²=2y+4x，
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=1+\sqrt{5}sinα}\end{array}}\right.$（α为参数）．
（2）解法一：∵直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，
∴直线l的普通方程是$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}-1=0$．
∴曲线C表示圆心为（2，1），半径为$\sqrt{5}$的圆，
圆心（2，1）到直线l的距离为$\frac{{|{2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-1}|}}{2}=1$，
∴直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-1}=4$．
解法二：将$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$代入（x-2）²+（y-1）²=5得，$4{t^2}-4\sqrt{3}t-1=0$，设直线l与曲线C的交点对应的参数分别为t₁，t₂，∴t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁•t₂=$-\frac{1}{4}$．
又∵直线l的参数方程可化为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}（2t）}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2t）}\end{array}}\right.$，
∴直线l被曲线C截得的弦长为$|{2{t_1}-2{t_2}}|=2\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2×\sqrt{3+1}=4$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．