Question

已知C为圆（x+

2

）²+y²=12的圆心，点A（

2

，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：连结AQ，|AQ|=|QP|，|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

QP

|=|

CP

|=r=2

3

，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C（-

2

，0），A（

2

，0）为焦点，长轴长为2

3

的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．

解答： 解：圆（x+

2

）²+y²=12的圆心为C（-

2

，0），半径r=2

3

，
∵

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

，
∴

MQ

⊥

AP

，点M是AP的中点，
∴QM是AP的中垂线，
连结AQ，则|AQ|=|QP|，
∴|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

QP

|=|

CP

|=r=2

3

，
又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C（-

2

，0），A（

2

，0）为焦点，
长轴长为2

3

的椭圆，
由c=

2

，a=

3

，得b²=3-2=1，
∴点Q的轨迹方程为

x2

3

+y2=1．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆的简单性质的合理运用．