Question

在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=

π

3

(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=1+cos2α

（α为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．

Answer 1

分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方程求出交点即可．

解答：解：因为直线l的极坐标方程为θ=

π

3

(ρ∈R)
所以直线l的普通方程为y=

3

x，（3分）
又因为曲线C的参数方程为

x=2cosα y=1+cos2α

（α为参数）
所以曲线C的直角坐标方程为y=

1

2

x2(x∈[-2，2])，（6分）
联立解方程组得

x=0 y=0

或

x=2 3 y=6

，（8分）
根据x的范围应舍去

x=2 3 y=6

，
故P点的直角坐标为（0，0）．（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．